Frações Decimais
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Ehbauer, Stefan Josef
Monsalve, Germán Alonso Benitez
Monsalve, Germán Alonso Benitez
Pós-Graduação
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Resumo
Este trabalho foi baseado no artigo do professor Alfredo Wagner Martins Pinto [1]. Seja x um número real, existem únicos ⌊ x ⌋ inteiro e 0 ≤ { x }< 1 real tal que x = ⌊ x ⌋ + { x }, onde ⌊ x ⌋ é a parte inteira de x e { x } mantissa de x. A partir dessa informação, pode-se desenvolver a representação decimal desse número real, que é o primeiro objetivo deste trabalho. A mantissa pode ser escrita como uma série, tal que se um número é racional a mantissa desse número real é periódica. Logo em seguida, será necessário conhecimento da função ϕ de Euler. Através de manipulações algébricas e conceitos analíticos, prossegue que todo número racional é periódico. Daí a necessidade de determinar o tamanho do período desse número racional, o segundo objetivo do trabalho. Ou seja, iremos determinar quantos dígitos tem o período de um número racional não inteiro. Através de Teoria dos grupos, foi tentado determinar uma forma menos cansativa de encontrar o tamanho desse período. E por fim, encontrada uma melhor estimativa para o segundo objetivo do trabalho.
. A mantissa pode ser escrita como uma série, tal que se um número é racional a mantissa desse número real é periódica. Logo em seguida, será necessário conhecimento da função ϕ de Euler.
Abstract
This work was based on the article by professor Alfredo Wagner Martins Pinto [1]. Let x be a real number, there are only ⌊ x ⌋ integers and 0 ≤ {x} <1 real such that x = ⌊ x ⌋ + {x}, where ⌊ x ⌋ is the integer part of x and {x} mantissa of x. From this information, it is possible to develop the decimal representation of this real number, which is the first objective of this work. The mantissa can be written as a series, such that if a number is rational the mantissa of that real number is periodic. Soon after, knowledge of Euler's ϕ function will be necessary. Through algebraic manipulations and analytical concepts, he continues that every rational number is periodic. Hence the need to determine the length of the period of this rational number, the second objective of the work. That is, we will determine how many digits the period of a non-integer rational number has. Through Group Theory, it was tried to determine a less tiring way to find the size of this period. Finally, a better estimate was found for the second objective of the work.
. The mantissa can be written as a series, such that if a number is rational the mantissa of that real number is periodic. Soon after, knowledge of Euler's ϕ function will be necessary.
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Palavras-chave
Termo controlado
Manipulações algébricas; Conceitos analíticos; Número racional; Função 𝜙 de Euler
Objetivos de Desenvolvimento Sustentável (ODS)
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